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2024湖北大學(xué)601高等代數(shù)考研大綱公布了！其中詳細(xì)內(nèi)容有哪些呢？快來看看高頓小編為大家整理的2024湖北大學(xué)601高等代數(shù)考研大綱的相關(guān)內(nèi)容吧，含試卷結(jié)構(gòu)。
第一部分 考試說明
一、考試性質(zhì)
高等代數(shù)是為全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)各專業(yè)及研究方向設(shè)置的考試課程之一。要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念及基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試范圍
多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。
三、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
1.答卷方式：閉卷，筆試；
2.答題時間：180分鐘；
3.試卷滿分：150分；
4.題型結(jié)構(gòu)：計算題、證明題、綜合題。
第二部分 考查要點(diǎn)
一、多項(xiàng)式
1.數(shù)域與一元多項(xiàng)式的概念；
2.多項(xiàng)式整除、帶余除法、最大公因式的存在唯一性、輾轉(zhuǎn)相除法；
3.互素的性質(zhì)和判定；
4.不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)、因式分解定理；
5.重因式的判定與求法、重因式與重根；
6.多項(xiàng)式函數(shù)、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì)；
7.代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；
8.本原多項(xiàng)式、高斯(Gauss)引理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、愛森斯坦因(Eisenstein)判別法、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根。
二、行列式
1.行列式的定義；
2.行列式的性質(zhì)；
3.行列式的計算；
4.行列式按一行（列）展開；
5.拉普拉斯(Laplace)展開定理；
6.克拉默(Cramer)法則。
三、線性方程組
1.消元法解線性方程組、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解；
2.n維向量空間的定義與基本性質(zhì)；
3.向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個向量組的等價；
4.向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩；
5.矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系；
6.線性方程組的有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)；
7.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)。
四、矩陣
1.矩陣的概念；
2.矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律；
3.矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系；
4.矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件；
5.分塊矩陣及其運(yùn)算與性質(zhì)；
6.初等變換、初等矩陣、矩陣的相抵等價標(biāo)準(zhǔn)形；
7.分塊初等變換、分塊初等矩陣。
五、二次型
1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同；
2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法；
3.復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形、實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理、正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差；
4.正定、半正定二次型及正定、半正定矩陣。
六、線性空間
1.線性空間的定義與簡單性質(zhì)；
2.線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表示、極大線性無關(guān)組；
3.維數(shù)、基與坐標(biāo)；
4.基變換與坐標(biāo)變換、過渡矩陣；
5.線性子空間的定義與判別、子空間分解；
6.子空間的交與和、維數(shù)公式；
7.子空間的直和；
8.線性空間的同構(gòu)。
七、線性變換
1.線性變換的定義；
2.線性變換的運(yùn)算及其代數(shù)結(jié)構(gòu)；
3.線性變換的矩陣、相似矩陣；
4.特征值與特征向量；
5.可對角化的線性變換、可對角化的矩陣的判定和計算；
6.線性變換的值域與核、秩與零度定理；
7.不變子空間和導(dǎo)出變換；
8.特征子空間、特征值的代數(shù)重數(shù)、幾何重數(shù)；
9.零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式、凱萊-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)定理。
八、λ-矩陣
1.λ−矩陣、多項(xiàng)式矩陣和矩陣多項(xiàng)式；
2.λ−矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；
3.矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子；
4.相似不變量、矩陣相似的條件；
5.不變因子與矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的對應(yīng)；
6.初等因子與矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的對應(yīng)；
7.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及其對應(yīng)的不變子空間分解；
8.根子空間、循環(huán)子空間分解。
九、歐氏空間
1.內(nèi)積和歐氏空間的定義與基本性質(zhì)、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣；
2.標(biāo)準(zhǔn)正交基、施密特(Schmidt)正交化方法、標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣、正交矩陣；
3.歐氏空間的同構(gòu)；
4.正交變換判別及性質(zhì)；
5.正交子空間、正交補(bǔ)空間、正交投影；
6.對稱變換的性質(zhì)、實(shí)對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形、主軸定理、用正交變換化實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形；
7.向量到子空間的距離、最小二乘法；
8.極分解與奇異值分解。
第三部分 主要參考書目
1.王萼芳，石生明修訂，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編.高等代數(shù).第五版.北京：高等教育出版社，2019.5.
2.徐運(yùn)閣，章超，廖軍編，高等代數(shù).北京：科學(xué)出版社，2021.7.
本文內(nèi)容整理于湖北大學(xué)研究生招生信息網(wǎng)。
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一、考試性質(zhì)
高等代數(shù)是為全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)各專業(yè)及研究方向設(shè)置的考試課程之一。要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念及基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。
二、考試范圍
多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。
三、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
1.答卷方式：閉卷，筆試；
2.答題時間：180分鐘；
3.試卷滿分：150分；
4.題型結(jié)構(gòu)：計算題、證明題、綜合題。
第二部分 考查要點(diǎn)
一、多項(xiàng)式
1.數(shù)域與一元多項(xiàng)式的概念；
2.多項(xiàng)式整除、帶余除法、最大公因式的存在唯一性、輾轉(zhuǎn)相除法；
3.互素的性質(zhì)和判定；
4.不可約多項(xiàng)式及其性質(zhì)、因式分解定理；
5.重因式的判定與求法、重因式與重根；
6.多項(xiàng)式函數(shù)、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì)；
7.代數(shù)基本定理、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；
8.本原多項(xiàng)式、高斯(Gauss)引理、有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、愛森斯坦因(Eisenstein)判別法、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有理根。
二、行列式
1.行列式的定義；
2.行列式的性質(zhì)；
3.行列式的計算；
4.行列式按一行（列）展開；
5.拉普拉斯(Laplace)展開定理；
6.克拉默(Cramer)法則。
三、線性方程組
1.消元法解線性方程組、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解；
2.n維向量空間的定義與基本性質(zhì)；
3.向量的線性組合、線性相關(guān)與線性無關(guān)、兩個向量組的等價；
4.向量組的極大無關(guān)組、向量組的秩；
5.矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系；
6.線性方程組的有解判別定理、線性方程組解的結(jié)構(gòu)；
7.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、解空間及其維數(shù)。
四、矩陣
1.矩陣的概念；
2.矩陣的運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算)及其運(yùn)算律；
3.矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關(guān)系；
4.矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件；
5.分塊矩陣及其運(yùn)算與性質(zhì)；
6.初等變換、初等矩陣、矩陣的相抵等價標(biāo)準(zhǔn)形；
7.分塊初等變換、分塊初等矩陣。
五、二次型
1.二次型及其矩陣表示、矩陣的合同；
2.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的配方法、初等變換法、正交變換法；
3.復(fù)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形、實(shí)二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理、正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號差；
4.正定、半正定二次型及正定、半正定矩陣。
六、線性空間
1.線性空間的定義與簡單性質(zhì)；
2.線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表示、極大線性無關(guān)組；
3.維數(shù)、基與坐標(biāo)；
4.基變換與坐標(biāo)變換、過渡矩陣；
5.線性子空間的定義與判別、子空間分解；
6.子空間的交與和、維數(shù)公式；
7.子空間的直和；
8.線性空間的同構(gòu)。
七、線性變換
1.線性變換的定義；
2.線性變換的運(yùn)算及其代數(shù)結(jié)構(gòu)；
3.線性變換的矩陣、相似矩陣；
4.特征值與特征向量；
5.可對角化的線性變換、可對角化的矩陣的判定和計算；
6.線性變換的值域與核、秩與零度定理；
7.不變子空間和導(dǎo)出變換；
8.特征子空間、特征值的代數(shù)重數(shù)、幾何重數(shù)；
9.零化多項(xiàng)式和極小多項(xiàng)式、凱萊-哈密爾頓(Cayley-Hamilton)定理。
八、λ-矩陣
1.λ−矩陣、多項(xiàng)式矩陣和矩陣多項(xiàng)式；
2.λ−矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；
3.矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子；
4.相似不變量、矩陣相似的條件；
5.不變因子與矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的對應(yīng)；
6.初等因子與矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的對應(yīng)；
7.若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及其對應(yīng)的不變子空間分解；
8.根子空間、循環(huán)子空間分解。
九、歐氏空間
1.內(nèi)積和歐氏空間的定義與基本性質(zhì)、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣；
2.標(biāo)準(zhǔn)正交基、施密特(Schmidt)正交化方法、標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣、正交矩陣；
3.歐氏空間的同構(gòu)；
4.正交變換判別及性質(zhì)；
5.正交子空間、正交補(bǔ)空間、正交投影；
6.對稱變換的性質(zhì)、實(shí)對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形、主軸定理、用正交變換化實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形；
7.向量到子空間的距離、最小二乘法；
8.極分解與奇異值分解。
第三部分 主要參考書目
1.王萼芳，石生明修訂，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編.高等代數(shù).第五版.北京：高等教育出版社，2019.5.
2.徐運(yùn)閣，章超，廖軍編，高等代數(shù).北京：科學(xué)出版社，2021.7.
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