這也是為什么學(xué)習(xí)CQF的原因,作為市面上已知的比較全面的金工類(lèi)體系培訓(xùn)證書(shū),CQF的課程體系上半部分著重側(cè)重在期權(quán)的講解上,第二次考試直接就是奇異期權(quán)的定價(jià)。
Black-Scholes模型是一種基于隨機(jī)過(guò)程的模型,用于估計(jì)歐式期權(quán)的理論價(jià)格。該模型的主要假設(shè)包括:
根據(jù)這些假設(shè),可以得出以下期權(quán)定價(jià)公式:(推薦掌握martingale&PDE兩種推導(dǎo)方法)
C=SN(d1)-Kexp(-r*T)*N(d2)
P=Kexp(-rT)N(-d2)-SN(-d1)
其中,C是歐式看漲期權(quán)的理論價(jià)格,P是歐式看跌期權(quán)的理論價(jià)格,S是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格,K是期權(quán)行權(quán)價(jià)格,r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,T是期權(quán)到期時(shí)間,N是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù),d1和d2是參數(shù),計(jì)算公式如下:
d1=[ln(S/K)+(r+σ^2/2)T]/(σsqrt(T))
d2=d1-σ*sqrt(T)
其中,σ是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的年化波動(dòng)率。
Black-Scholes模型是期權(quán)定價(jià)中最常用的模型之一,但也有其局限性,例如無(wú)法處理大幅度的價(jià)格波動(dòng)和股息支付等情況。在實(shí)際中,還需要根據(jù)具體情況選擇適合的定價(jià)模型。實(shí)際的應(yīng)用一般選擇BS先定價(jià)做參考,然后在此基礎(chǔ)上去做修正??吹竭@里,各位明白了,為什么這個(gè)崗位對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)要求是比較高的,需要糾偏,這個(gè)就需要比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底了。
對(duì)于上文中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)名詞,特別重要的我們給與重視:隨機(jī)過(guò)程,同時(shí)引入兩個(gè)非常重要的概念“伊藤積分”“鞅(martingale)”
伊藤積分是隨機(jī)微積分學(xué)中的一種重要工具,用于描述隨機(jī)過(guò)程的微分形式。
伊藤積分是對(duì)普通積分的推廣,將普通積分中的函數(shù)替換成了隨機(jī)過(guò)程。
具體地,假設(shè)有一個(gè)定義在時(shí)間區(qū)間[0,T]上的隨機(jī)過(guò)程X(t),則伊藤積分可以表示為:
∫[0,t]f(s,X(s))dX(s)
其中,f(s,X(s))是定義在時(shí)間和隨機(jī)變量上的函數(shù),dX(s)是X(t)在[s,s+ds]上的增量,即dX(s)=X(s+ds)-X(s)。
伊藤積分的計(jì)算需要滿(mǎn)足一定的規(guī)則,其中最重要的是伊藤引理。伊藤引理是隨機(jī)微積分學(xué)中的基本公式,描述了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的微分形式與該過(guò)程的演化方程之間的關(guān)系。
伊藤引理的一般形式如下:
dF(t)=(?F/?t)dt+(?F/?x)dX(t)+(1/2)(?^2F/?x^2)(dX(t))^2
其中,F(xiàn)(t,X(t))是定義在時(shí)間和隨機(jī)變量上的函數(shù),?F/?t和?F/?x分別表示F對(duì)時(shí)間和隨機(jī)變量X的偏導(dǎo)數(shù)。
伊藤積分的應(yīng)用非常廣泛,尤其在金融工程和物理學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。在金融領(lǐng)域,伊藤積分被用來(lái)建立隨機(jī)過(guò)程模型,例如布朗運(yùn)動(dòng)和跳躍擴(kuò)散模型,從而對(duì)金融資產(chǎn)價(jià)格的演化進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。
鞅(Martingale)是一種隨機(jī)過(guò)程,具有重要的統(tǒng)計(jì)和概率特性,被廣泛應(yīng)用于金融、信號(hào)處理、控制理論等領(lǐng)域。鞅的特殊性質(zhì)使得它在隨機(jī)過(guò)程的研究中具有重要的作用。
鞅是一種隨機(jī)過(guò)程,滿(mǎn)足在給定一定的歷史信息下,未來(lái)的期望值與當(dāng)前值相等的性質(zhì)。即,對(duì)于一個(gè)鞅X(t),其滿(mǎn)足下面的條件:
X(0)=E[X(0)]:即鞅在時(shí)間0的期望值等于其初始值。
E[X(t)|X(s),s≤t]=X(s):即給定時(shí)間區(qū)間[s,t]上的歷史信息,鞅在時(shí)間t的期望值等于鞅在時(shí)間s的值。
這個(gè)性質(zhì)可以表示為“鞅的未來(lái)是無(wú)法預(yù)測(cè)的,但在任何時(shí)刻,鞅的期望等于其當(dāng)前的值。”
鞅的應(yīng)用非常廣泛,特別是在金融領(lǐng)域。鞅在金融中的應(yīng)用主要集中在期權(quán)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理、投資組合優(yōu)化等方面。鞅在這些領(lǐng)域的應(yīng)用依賴(lài)于其重要的性質(zhì),例如鞅的可測(cè)性、鞅的停時(shí)定理、鞅收斂定理等。
期權(quán)價(jià)格受到基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格、期權(quán)行權(quán)價(jià)格、期權(quán)到期時(shí)間、波動(dòng)率等多個(gè)因素的影響。在資管風(fēng)控中,可以利用期權(quán)來(lái)進(jìn)行對(duì)沖和風(fēng)險(xiǎn)管理。
具體而言,以下是一些使用期權(quán)進(jìn)行資管風(fēng)險(xiǎn)管理的方法:
1.期權(quán)對(duì)沖:期權(quán)可以用于對(duì)沖其他金融工具的價(jià)格波動(dòng)。例如,一些投資組合經(jīng)理可能持有大量的股票頭寸,為了保護(hù)這些頭寸,他們可以購(gòu)買(mǎi)相應(yīng)的看跌期權(quán),以對(duì)沖市場(chǎng)下跌的風(fēng)險(xiǎn)。
2.波動(dòng)率對(duì)沖:期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響非常大。如果預(yù)期市場(chǎng)波動(dòng)率會(huì)上升,投資組合經(jīng)理可以購(gòu)買(mǎi)看漲期權(quán),以保護(hù)頭寸免受價(jià)格波動(dòng)的影響。
3.期權(quán)的Delta值:Delta值表示期權(quán)價(jià)格對(duì)基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化的敏感度。通過(guò)了解期權(quán)的Delta值,可以幫助投資組合經(jīng)理確定期權(quán)的對(duì)沖策略。
4.風(fēng)險(xiǎn)敞口管理:期權(quán)可以用于管理投資組合的風(fēng)險(xiǎn)敞口。例如,如果一個(gè)投資組合經(jīng)理認(rèn)為市場(chǎng)有下跌風(fēng)險(xiǎn),可以購(gòu)買(mǎi)看跌期權(quán),以降低組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。
希望各位通過(guò)學(xué)習(xí)可以掌握這些技能,用于以后的工作中。